Anything: Desember 2019

Senin, 16 Desember 2019

Integral

A. Pengertian integral

Integral adalah bentuk operasi matematika yang menjadi invers (kebalikan) dari sebuah operasi turunan dan limit dari jumlah atau suatu luas daerah tertentu.

Integral terbagi menjadi 2, yaitu :

1. Integral tak tentu

Integral tak tentu adalah bentuk integral yang hasilnya berupa fungsi dalam variabel tertentu dan masih memuat konstanta integrasi.

Oleh karena itu, rumus umum integral dinyatakan sebagai berikut.
, dengan c adalah konstanta integrasi

2. Integral tentu

Pada bahasan sebelumnya, telah dijelaskan tentang integral tak tentu di mana hasil dari integrasinya masih berupa fungsi. Jika hasil integrasinya berupa nilai tertentu, integralnya disebut integral tentu. Adapun bentuk umum integral tentu adalah sebagai berikut.

dengan: x = a disebut batas bawah
x = b disebut batas atas
Arti dari bentuk integral di atas adalah suatu f’(x) diintegralkan atau dijumlahkan secara kontinu mulai dari titik a sampai titik b, sehingga hasil akhir yang diperoleh akan berupa angka, tidak lagi fungsi.

B. Aturan dalam Pengoperasian Integral

1. Aturan Utama

Contoh Soal :

2. Aturan Eksponensial

http://istanamengajar.files.wordpress.com/2013/10/eksponensial1.jpg

Contoh Soal :

3. Aturan logaritma

Contoh soal :

4. Aturan penjumlahan

Contoh soal :

5. Integral berganda

Contoh soal :

6. Aturan subtitusi
rumus integral substitusi

Contoh soal :

7. Aturan Parsial
rumus integral parsial

Contoh soal :

8. Aturan trigonometri

namun bisa juga menggunakan rumus :

Contoh soal :

Rabu, 11 Desember 2019

Matriks lanjutan III (persamaan simultan)

Persamaan simultan

Persamaan simultan adalah kumpulan dari beberapapersamaan linear yang terdiri dari stu, dua atau tiga variable bebas.

System persamaan linear dua variable

Untuk persamaan linear yang terdiri dari satu variable,minsalnya 4x+5= 9, maka dengan mudah bisa diselesaikan persamaan tersebut dengan memindahkan variable keruas yang berbeda.

Dapat dilihat pada contoh be rikut:

4x+5=9 4x=4 x=1

Dibawah ini yang akan dibahas adalah persamaan linear dari 2 dan 3 variabel.

System persamaan linear 2 variabel:

Bentuk umum:

ax+by=p……………………………………………………………………………………..………..(1)

cx+dy=q…………………………………………………………………………………………..….(2)

persamaan (1) dan (2) diatas dapat kita susun kedalam bentuk matriks seperti dibawah ini. wp-1544201950426..jpeg

Dimana A adalah matriks koefisien, X adalah matriks variable dan b adalah matriks solusi.

Tujuan penyelesaian system persamaan linear dua variable adalah menentukan nilai x dan y yang memenuhi system persamaan itu.

Untuk menyelesaikan persamaan linear ada 2 metoda yaitu metoda invers dan cramer.

Metode invers

Bentuk Ax=b dapat dirumuskan sebagai berikut. wp-1544202709019..jpeg

Metode cramer

Diketahui system persamaan linear dua variable sebagai berikut.

ax + by = c

px + qy =r

dapat diubah sebagai berikut: wp-1544203183777..jpeg

menyelesaikan persamaan linear dengan menggunakan metode perhitungan determinan. wp-1544203266955..jpeg

System persamaan linear 3 variabel

Persamaan simultan yang terdiri dari 3 variabel juga dapat diselesaikan dengan cara yang sama yaitu metode invers dan metode cramer. Dibawah ini akan dijelaskan untuk masing-masing metode.

Metode invers matriks

Diberikan persamaan linear sebagai berikut. wp-1544203507028..jpeg

Persamaan linear diatas dapat disajikan dalam bentuk matriks sebagai berikut: wp-1544203646565..jpeg

Penyelesaian persamaan simultan diatas dapat dilakukan dengan menentukan balikan dari A, sedemikian sehingga diperoleh: wp-1544203744171..jpeg

Metode cramer

Metode cramer merupakan suatu metode untuk menyelesaikan system persamaan linear melalui pemakaian determinan.

Contoh Soal :

Matriks lanjutan II (determinan & invers)

A. Determinan Metode Sarrus
Ciri khas metode ini adalah pola perkalian menyilang elemen matriks.
Ciri khas ini juga dimiliki pola Sarrus 4×4, hanya saja dengan jumlah pola yang lebih banyak yaitu 3 pola.
B. Determinan Matriks 3×3 Metode Ekspansi Kofaktor
Walaupun konsep dasar minor dan kofaktor sama, akan tetapi terdapat perbedaan penggunaan minor dan kofaktor dalam menghitung determinan dan invers matriks 3×3.
Dalam determinan, minor-kofaktor yang dihitung hanya terbatas pada baris atau kolom tertentu saja dan biasa disebut ekspansi baris dan ekspansi kolom.
Sedangkan dalam invers, kita harus menghitung sembilan elemen minor dan kofaktor sampai diperoleh matriks baru yaitu matriks minor dan matriks kofaktor.
Minor
Definisi minor adalah determinan submatriks persegi setelah salah satu baris dan kolomnya dihilangkan.
Minor dilambangkan dengan “Mij” dimana “i” sebagai baris dan “j” sebagai kolom matriks yang dihilangkan.
Baris dan kolom dihilangkan bukan berarti dibuang, akan tetapi baris dan kolom tersebut hanya tidak diikutsertakan dalam submatriks yang baru.
Submatriks artinya bagian kecil dari matriks, sedangkan matriks persegi adalah matriks yang mempunyai jumlah baris sama dengan jumlah kolom atau sebut saja berordo nxn. Misalnya matriks persegi 3×3 maka submatriksnya berordo 2×2.
Jadi, menghitung minor matriks 3×3 adalah menghitung determinan submatriks 2×2.
Contoh: M12 = baris ke-1 dan kolom ke-2 dihilangkan

Matriks Submatriks Minor

$A_{3\times3} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21}& a_{22} & a_{23} \\ a_{31}& a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$ $M_{12} = \begin{bmatrix}\cdots &\cdots &\cdots \\ a_{21}&\vdots & a_{23} \\ a_{31}&\vdots & a_{33} \end{bmatrix}$ $\vspace{1pc} M_{12} = \begin{bmatrix} a_{21} &a_{23} \\ a_{31} &a_{33} \end{bmatrix}\\ \left | M_{12} \right |=a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}$

Contoh: M23 = baris ke-2 dan kolom ke-3 dihilangkan

Matriks Submatriks Minor

$A_{3\times3} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21}& a_{22} & a_{23} \\ a_{31}& a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$ $M_{23} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \vdots \\ \cdots & \cdots & \vdots \\ a_{31}& a_{32} & \vdots \end{bmatrix}$ $\vspace{1pc} M_{23} = \begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{31} &a_{32} \end{bmatrix}\\ \left | M_{23} \right |=a_{11}a_{32}-a_{12}a_{31}$

Kofaktor
Dalam kofaktor, elemen minor matriks dapat bernilai positif dan negatif. Kofaktor dilambangkan dengan “Cij” dan dapat dihitung dengan rumus:
$C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$
Contoh:

Kofaktor (C11) Kofaktor (C12) Kofaktor (C13)

$\vspace{1pc} C_{11} = (-1)^{1+1}M_{11} \\ C_{11} = (-1)^{2} M_{11} = M_{11}$ $\vspace{1pc} C_{12} = (-1)^{1+2}M_{12} \\ \vspace{1pc} C_{12} = (-1)^{3} M_{12} \\ \vspace{1pc} C_{12} = (-1) M_{12} = -M_{12}$ $\vspace{1pc} C_{13} = (-1)^{1+3}M_{13} \\ \vspace{1pc} C_{13} = (-1)^{4} M_{13} \\ \vspace{1pc} C_{13} = M_{13}$

Cara mudah untuk mengetahui nilai kofaktor, yaitu:

Jika i + j = bilangan genap maka kofaktor bernilai positif

Dan jika i + j = bilangan ganjil maka kofaktor bernilai negatif

Sebenarnya tanpa menghitung satu persatu kita bisa dengan mudah mengetahui tanda kofaktor matriks. Caranya cukup tuliskan tanda positif dan negatif secara bergantian di depan lambang minor.
$C_{3\times3} = \begin{bmatrix} M_{11} & -M_{12} & M_{13} \\ -M_{21}& M_{22} & -M_{23} \\ M_{31}& -M_{32} & M_{33} \end{bmatrix}$
Seperti yang saya tulis sebelumnya bahwa terdapat perbedaan cara menghitung determinan dan invers matriks 3×3.
Oleh karena itu, untuk selanjutnya pembahasan minor-kofaktor dalam invers bisa dibaca dalam invers matriks ordo 3×3.
Sedangkan pembahasan ini berlanjut ke determinan metode ekspansi kofaktor yaitu ekspansi baris dan kolom.

>Ekspansi Baris
Ekspansi baris dimulai dari setiap elemen kolom pertama atau elemen dengan nilai j = 1 (ai1) dan arahnya bergerak secara mendatar sepanjang jumlah kolom matriks.

Rumus umum determinan ekspansi baris:
$\vspace{1pc} \left | A_{n\times n} \right |= a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + \cdots + a_{in}C_{in} \\ \vspace{1pc} \left | A_{n\times n} \right |= a_{i1}(-1)^{i+1}M_{i1} + a_{i2}(-1)^{i+2}M_{i2} + \cdots + a_{in}(-1)^{i+n}M_{in} \\ \left | A_{n\times n} \right |= a_{i1}M_{i1} + a_{i2}M_{i2} + \cdots + a_{in}M_{in}$
Kenapa tandanya + (plus) semua?
Karena tanda plus atau minus ditentukan oleh kofaktor dan ekspansi baris mana yang digunakan.
Jika ekspansi baris ganjil misalnya ekspansi baris pertama dan baris ketiga, maka tandanya dimulai dengan positif.
Dan jika ekspansi baris genap seperti ekspansi baris kedua dan baris keempat, maka rumusnya dimulai dengan tanda negatif.
Dan hal yang hampir sama juga berlaku pada rumus umum ekspansi kolom.
Jadi, berdasarkan pola rumus umum tersebut dapat ditentukan tiga rumus determinan ekspansi baris matriks 3×3, yaitu:

Ekspansi baris pertama
$\vspace{1pc} \left | A_{3\times 3} \right |=a_{11}M_{11}-a_{12}M_{12}+a_{13}M_{13} \\ \vspace{1pc} \left | A_{3\times 3} \right |=a_{11}\begin{bmatrix} a_{22} &a_{23} \\ a_{32} &a_{33}\end{bmatrix}-a_{12}\begin{bmatrix} a_{21} &a_{23} \\ a_{31} &a_{33} \end{bmatrix}+a_{13}\begin{bmatrix} a_{21} &a_{22} \\ a_{31} &a_{32}\end{bmatrix}$

Ekspansi baris kedua
$\vspace{1pc} \left | A_{3\times 3} \right |=-a_{21}M_{21}+a_{22}M_{22}-a_{23}M_{23} \\ \vspace{1pc} \left | A_{3\times 3} \right |=-a_{21}\begin{bmatrix} a_{12} &a_{13} \\ a_{32} &a_{33}\end{bmatrix}+a_{22}\begin{bmatrix} a_{11} &a_{13} \\ a_{31} &a_{33} \end{bmatrix}-a_{23}\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{31} &a_{32}\end{bmatrix}$

Ekspansi baris ketiga
$\vspace{1pc} \left | A_{3\times 3} \right |=a_{31}M_{31}-a_{32}M_{32}+a_{33}M_{33} \\ \vspace{1pc} \left | A_{3\times 3} \right |=a_{31}\begin{bmatrix} a_{12} &a_{13} \\ a_{22} &a_{23}\end{bmatrix}-a_{32}\begin{bmatrix} a_{11} &a_{13} \\ a_{21} &a_{23} \end{bmatrix}+a_{33}\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{21} &a_{22}\end{bmatrix}$

Meskipun mudah namun tanda kofaktor justru yang paling sering menjadi penyebab kesalahan menghitung determinan. Jadi, telitilah dalam menuliskan rumus ekspansi!

Sifat-sifat determinan :
1. Determinan suatu matriks sama dengan determinan dari transposnya.
2. Penambahan atau pengurangan suatu kelipatan bukan nol tidak akan mempunyai pengaruh pada determinan.
3. Jika semua elemen dari suatu baris atau kolom adalah nol, determinan adalah nol.

C. Invers

Sifat-sifat dari matriks terbalik adalah sebagai berikut :

AA‾¹ = A‾¹A = I
AB‾¹ = B‾¹A‾¹
(A‾¹)‾¹ = A
Jika XA = B, maka X = BA-¹
Jika AX = b, maka X = A-¹B

Secara umum, rumus invers matriks dapat ditulis sebagai berikut :

Keterangan :

A‾¹ = Invers Matriks (A)
det (A) = Determinan Matriks (A)
Adj (A) = Adjoin Matriks (A)

Contoh soal :

Matriks lanjutan (transformasi elementer & determinan)

A. Transformasi Elementer pada Baris

Terhadap elemen-elemen suatu matriks dapat dilakukan transformasi atau penukaran atau perpindahan menurut baris matriks.

Kaidah-kaidah transformasi elementer :
Apabila ada matriks A = (aij), maka transformasi elemen-elemen pada baris ke-i dengan baris ke-j ditulis Hij (A), yang merupakan penukaran semua elemen baris ke-i dengan baris ke-j atau baris ke-j dijadikan baris ke-i.

Contoh :

setelah saya selesai dengan pembahasan tentangn transformasi elementer pada baris sekarang waktunya kita masuk ke pembahasan tentang transformasi elementer pada kolom.

B. Transformasi Elementer pada Kolom

Terhadap elemen-elemen suatu matriks dapat dilakukan transformasi atau penukaran atau perpindahan menurut kolom matriks.

Transformasi elemen-elemen pada kolom ke-i dengan kolom ke-j, ditulis Kij (A), adalah penukaran semua elemen kolom ke-i dengan kolom ke-j atau kolom ke-i dijadikan kolom ke-j.

C. Matriks Ekivalen
Dua matriks A dan B disebut ekivalen, ditulis A ∼ B, jika B diperoleh dari A dengan melakukan transformasi elementer, dan sebaliknya A diperoleh dari B dengan melakukan invers transformasi elementer.

Contoh :

D. Rank Matriks
Rank baris dari matriks A adalah dimensi dari ruang baris matriks A. Rank kolom dari matriks A adalah dimensi dari ruang kolom matriks A. Bila rank baris = rank kolom maka rank matriks A yaitu r (A) adalah harga atau nilai dari rank baris/ rank kolom matriks A tersebut.
Dengan kata lain rank dari matriks menyatakan jumlah maksimum vektor-vektor baris/kolom yang bebas linear. Untuk mencari rank matriks dapat dilakukan dengan transformasi elementer, yaitu dengan cara sebanyak mungkin mengubah baris kolom menjadi vektor nol.

Contoh :

Petunjuk menentukan rank matriks :
i. Bila matriks hanya mempunyai dua baris, maka cukup diperiksa apakah elemen-elemen pada baris ke-1 dan baris ke-2 saling berkelipatan.

Contoh :

ii. Secara umum :

Pilih baris / kolom yang bukan vektor nol, dan pilih elemen pada baris/kolom tersebut yang tidak sama dengan nol sebagai elemen pivot. Pada contoh transformasi baris a13 =1 (≠ 0), kemudian pilih baris yang mengandung elemen 1 atau –1 sebagai elemen pivot.
Jadikan nol semua elemen yang sekolom dengan elemen pivot melalui transformasi baris oleh elemen pivot tersebut. Pada contoh diatas a23, a33 dan a43 dijadikan nol.
Selanjutnya tidak perlu lagi memeperhatikan baris pivot diatas. Perhatikan baris-baris yang tinggal. Pada contoh diatas adalah baris. Kerjakan langkah (1) terhadap mereka. Pada contoh diatas pilih baris 4 dengan elemen pivot a41=1. Seterusnya kembali lagi pada langkah a dan b.
Proses ini akan berakhir bila langkah a tidak dapat dikerjakan lagi, yaitu bila telah menjadi baris nol.

okeeey lanjut kita akan membahas lebih dalam tentang DETERMINAN, kita akan bahas lebih dalam lagi mulai dari pengertian determian, sifat-sifat determian dan ekspansi laplace.

E. Determinan

Pengertian determinan :
Determinan merupakan sebuah bilangan tunggal atau scalar, dan hanya dijumpai dalam matriks bujur sangkar. Jika determinan suatu matriks bujur sangkar adalah nol, maka matriks tersebut dikatakan sebagai matriks singular. Dan jika determinan matriks tersebut bukan nol, maka matriks tersebut dikatakan sebagai matriks non singular. Matriks nonsingular, secara linear tidak tergantung (saling independent)

Determinan Matriks Ordo 2 x 2
Jika diberikan matriks ordo 2 dinyatakan seperti bentuk di bawah.

Sifat-sifat Determinan :
Sifat-sifat determinan ada enam, yaitu :
a. Determinan suatu matriks sama dengan determinan dari transposenya, det (A) = det (A^t).

Contoh :

b. Penambahan atau pengurangan suatu kelipatan bukan nol dari suatu baris/kolom dari baris/kolom lainnya tidak akan mempunyai pengaruh pada determinan.

c. Penukaran tempat antara dua baris atau kolom sembarang dari suatu matriks akan merubah tanda, tetapi tidak merubah harga absolut dari determinan.

Contoh :

d. Determinan dari suatu matriks segitiga (triangular matriks), yaitu matriks dengan elemen-elemen nol diatas atau di bawah diagonal utama, adalah sama dengan hasil kali dari elemenelemen dari diagonal utama.

Contoh :

e. Jika semua elemen dari suatu baris atau kolom adalah nol, determinan adalah nol.

Contoh :

f. Jika dua baris atau kolom identik, atau proporsional, yaitu secara linear tergantung, maka determinan adalah nol.

Contoh :

F. Ekspansi Laplace
Metode atau ekspansi Laplace adalah suatu cara untuk menghitung determinan dengan menggunakan kofaktor.
Determinan dari suatu matriks = jumlah perkalian elemen-elemen dari sembarang baris/kolom dengan kofaktor-kofaktornya.

Ekspansi Laplace dapat ditulis dengan cara :

|A| = a11|C11|+a12|C12|+a13|C13| menggunakan baris 1

Dengan pola yang sama dapat juga dihitung dengan menggunakan baris ke dua dan ketiga, dengan memberikan hasil determinan yang sama.

Contoh :

Anything

Anything

Senin, 16 Desember 2019

Integral

1. Integral tak tentu

Integral tak tentu adalah bentuk integral yang hasilnya berupa fungsi dalam variabel tertentu dan masih memuat konstanta integrasi.

Oleh karena itu, rumus umum integral dinyatakan sebagai berikut.
, dengan c adalah konstanta integrasi

2. Integral tentu

Rabu, 11 Desember 2019

Matriks lanjutan III (persamaan simultan)

Matriks lanjutan II (determinan & invers)

Matriks lanjutan (transformasi elementer & determinan)

Kemitraan Lembaga Keuangan Penanam Modal/Investasi dan Build Operates Transfer (BOT)

Laporkan Penyalahgunaan

Label

Matriks	Submatriks	Minor
$A_{3\times3} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21}& a_{22} & a_{23} \\ a_{31}& a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$	$M_{12} = \begin{bmatrix}\cdots &\cdots &\cdots \\ a_{21}&\vdots & a_{23} \\ a_{31}&\vdots & a_{33} \end{bmatrix}$	$\vspace{1pc} M_{12} = \begin{bmatrix} a_{21} &a_{23} \\ a_{31} &a_{33} \end{bmatrix}\\ \left \| M_{12} \right \|=a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}$

Kofaktor (C11)	Kofaktor (C12)	Kofaktor (C13)
$\vspace{1pc} C_{11} = (-1)^{1+1}M_{11} \\ C_{11} = (-1)^{2} M_{11} = M_{11}$	$\vspace{1pc} C_{12} = (-1)^{1+2}M_{12} \\ \vspace{1pc} C_{12} = (-1)^{3} M_{12} \\ \vspace{1pc} C_{12} = (-1) M_{12} = -M_{12}$	$\vspace{1pc} C_{13} = (-1)^{1+3}M_{13} \\ \vspace{1pc} C_{13} = (-1)^{4} M_{13} \\ \vspace{1pc} C_{13} = M_{13}$

Senin, 16 Desember 2019

1. Integral tak tentu

Integral tak tentu adalah bentuk integral yang hasilnya berupa fungsi dalam variabel tertentu dan masih memuat konstanta integrasi. Oleh karena itu, rumus umum integral dinyatakan sebagai berikut. , dengan c adalah konstanta integrasi

2. Integral tentu

Rabu, 11 Desember 2019

Ekspansi baris pertama

Ekspansi baris kedua

Ekspansi baris ketiga

Integral tak tentu adalah bentuk integral yang hasilnya berupa fungsi dalam variabel tertentu dan masih memuat konstanta integrasi.

Oleh karena itu, rumus umum integral dinyatakan sebagai berikut.
, dengan c adalah konstanta integrasi