Fungsi Implisit

A. Fungsi Implisit

Fungsi implisit adalah fungsi yang terdiri dari 2 atau lebih variabel bebas dan tak bebas yang berada dalam satu ruas.

Contoh :

·         x² + 2xy – 3 = 0 (variabel bebas)

·         2x²yz + 6yz – 8x – 9 = 0 (variabel bebas)

1. 
   
   1
   Turunkan suku-suku x seperti biasa. Saat mencoba menurunkan persamaan multi variabel seperti x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19, mungkin sulit untuk mengetahui dari mana harus memulai. Untungnya, langkah pertama dari turunan fungsi implisit adalah langkah termudahnya. Turunkan saja suku-suku x dan konstanta pada kedua sisi persamaan sesuai aturan turunan biasa (eksplisit) untuk memulainya. Abaikan suku-suku y untuk sementara.
   

   • Ayo coba kita turunkan contoh persamaan sederhana di atas. x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19 memiliki dua suku x: x² dan -5x. Jika kita ingin menurunkan persamaan, kita harus mengerjakan ini terlebih dahulu, seperti ini:

     x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19

     (Bawalah turun pangkat 2 dalam x² sebagai koefisien, hapus x dalam -5x, dan ubah 19 menjadi 0)

     2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0
2. 
   

   
   2
   Turunkan suku-suku y dan tambahkan (dy/dx) di sebelah masing-masing sukunya. Untuk langkah Anda selanjutnya, turunkan saja suku-suku y dengan cara yang sama seperti Anda menurunkan suku-suku x. Akan tetapi, kali ini, tambahkan (dy/dx) di sebelah masing-masing suku seperti Anda menambahkan koefisien. Misalnya, jika Anda menurunkan y², maka turunannya menjadi 2y(dy/dx). Abaikan suku-suku yang memiliki x dan y untuk sementara.
   

   • Dalam contoh kita, persamaan kita sekarang menjadi seperti ini: 2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0. Kita akan melakukan langkah penurunan y selanjutnya seperti berikut:

     2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

     (Bawalah turun pangkat 2 dalam y² sebagai koefisien, hapus y dalam 8y, dan letakkan dy/dx di sebelah masing-masing suku).

     2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2xy²= 0

     

     
     

3. 
   
   3
   Gunakan aturan hasil kali atau aturan hasil bagi untuk suku-suku yang memiliki x dan y. Mengerjakan suku-suku yang memiliki x dan y agak sedikit rumit, tetapi jika Anda mengetahui aturan hasil kali dan hasil bagi untuk turunan, Anda akan mudah mengerjakannya. Jika suku-suku x dan y dikalikan, gunakan aturan hasil kali ((f × g)' = f' × g + g × f'), mensubtitusikan suku x untuk f dan suku y untuk g.^[1] Sebaliknya, jika suku-suku x dan y saling membagi satu sama lain, gunakan aturan hasil bagi ((f/g)' = (g × f' - g' × f)/g²), mensubstitusikan suku pembilang untuk f dan suku penyebut untuk g.^[2]
   

   • Dalam contoh kita, 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2xy² = 0, kita hanya memiliki satu suku yang memiliki x dan y — 2xy². Karena x dan y dikalikan satu sama lain, kita akan menggunakan aturan hasil kali untuk menurunkan seperti berikut:

     2xy² = (2x)(y²)— set 2x = f and y² = g in (f × g)' = f' × g + g × f'

     (f × g)' = (2x)' × (y²) + (2x) × (y²)'

     (f × g)' = (2) × (y²) + (2x) × (2y(dy/dx))

     (f × g)' = 2y² + 4xy(dy/dx)

   • Menambahkan ini ke persamaan utama kita, kita mendapatkan 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y² + 4xy(dy/dx) = 0

   

   
   
4. 
   
   4
   Sendirikan (dy/dx). Anda hampir selesai! Sekarang, yang harus Anda lakukan adalah menyelesaikan persamaan (dy/dx). Hal ini tampaknya sulit, tetapi biasanya tidak — ingatlah bahwa dua suku a dan b apa pun yang dikalikan oleh (dy/dx) dapat ditulis sebagai (a + b)(dy/dx) karena sifat distributif perkalian.^[3] Taktik ini dapat memudahkan proses menyendirikan (dy/dx) — pindahkan saja semua suku lainnya di sisi lain dari tanda kurung, kemudian bagilah dengan suku-suku dalam tanda kurung di sebelah (dy/dx).
   

   • Dalam contoh kita, kita menyederhanakan 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y² + 4xy(dy/dx) = 0 seperti berikut:

     2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y² + 4xy(dy/dx) = 0

     (2y + 8 + 4xy)(dy/dx) + 2x - 5 + 2y² = 0

     (2y + 8 + 4xy)(dy/dx) = -2y² - 2x + 5

     (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2y + 8 + 4xy)

     (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2(2xy + y + 4)