Anything: Relasi dan Fungsi

A. Relasi

Pengertian Relasi

Relasi adalah aturan yang menghubungkan setiap anggota himpunan A ke himpunan B. Dimana A disebut domain (daerah asal) dan B disebut kodomain (daerah kawan).

Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah hubungan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B. Dalam mengerjakan soal, relasi dapat dikerjakan menggunakan tiga metode yaitu diagram panah, diagram cartesius, dan himpunan pasangan berurutan.
Contoh :

A= {Buyung, Doni, Vita, Putri},
B = {IPS, kesenian, keterampilan, olahraga, matematika, IPA, bahasa Inggris}, dan “pelajaran yang disukai” adalah relasi yang menghubungkan himpunan A ke himpunan B.

keterangan:
Buyung suka IPS dan kesenian,
Doni suka Ketrampilan dan Olahraga,
Vita suka IPA, dan
Putri suka Matematika dan Bahasa Inggris.

Jawaban dengan tiga metode:
a. Dengan metode diagram panah

b. Dengan metode diagram Cartesius

c. Dengan metode himpunan pasangan berurutan
{(Buyung, IPS), (Buyung, kesenian), (Doni, keterampilan), (Doni, olahraga), (Vita, IPA), (Putri, matematika), (Putri, bahasa Inggris)}

B. Fungsi atau Pemetaan

Fungsi atau yang sering disebut juga dengan pemetaan masih termasuk dalam relasi. Suatu relasi disebut fungsi jika semua anggota himpunan daerah asal dipasangkan tepat satu ke daerah kawannya.

Dengan:

A disebut domain (daerah asal) dinotasikan $D_f$
B disebut Kodomain (daerah kawan) dinotasikan $K_f$
${y \epsilon B \mid(x,y) \epsilon R, x \epsilon A}$ disebut range (daerah hasil), dinotasikan dengan $R_f$

Sebagai contoh:

Contoh 1	Contoh 2	Contoh 3

Bukan fungsi karena terdapat anggota di A yang tidak dihubungkan dengan anggota di B	Bukan fungsi karena terdapat anggota di A yang dihubungkan lebih dari satu dengan anggota di B	Meupakan fungsi karena setiap anggota di A tapat dihubungkan dengan satu anggota di B

Sifat-sifat Fungsi

Fungsi surjektif

Pada fungsi $f:A \rightarrow B$ , jika setiap elemen di B mempunyai pasangan di A atau $R_f = B$ , atau setiap $y \epsilon B$ terdapat $x \epsilon A$ sedemikian sehingga $f(x) = y$ . Contoh:

Fungsi Into

Pada fungsi $f:A \rightarrow B$ , jika terdapat elemen di B yang tidak mempunyai pasangan di A.

Contoh:

Fungsi Injektif

Pada fungsi $f:A \rightarrow B$ , jika setiap elemen di B mempunyai pasangan tepat satu elemen dari A.

Contoh:

Fungsi Bijektif

Jika fungsi $f:A \rightarrow B$ merupakan fungsi surjektif sekaligus fungsi injektif.

Contoh:

Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi merupakan susunan dari beberapa fungsi yang terhubung dan bekerja sama.

Sebagai ilustrasi jika fungsi f dan g adalah mesin yang bekerja beriringan. Fungsi f menerima input berupa (x) yang akan diolah di mesin f dan menghasilkan output berupa $f(x)$ . Kemudian $f(x)$ dijadikan input untuk diproses di mesin g sehingga didapat output berupa $g(f(x))$ .

Ilustrasi tersebut jika dibuat dalam fungsi merupakan komposisi g dan f yang dinyatakan dengan $g o f$ sehingga:

$(g o f)(x) = g(f(x))$

dengan syarat: $R_f \cap D_g \not= {\O}$ .

Komposisi bisa lebih dari dua fungsi jika $f:A \rightarrow B$ , $g:B \rightarrow C$ , dan $h:C \rightarrow D$ , maka $h o g o f:A \rightarrow D$ dan dinyatakan dengan:

$(h o g o f)(x) = h(g(f(x)))$

Sifat-sifat fungsi komposisi:

Operasi pada fungsi komposisi tidak besifat komutatif $(g o f)(x) \not= (f o g)(x)$

Operasi bersifat asosiatif: $(h o g o f)(x) = (h o(g o f))(x) = ((h o g) o f)(x)$

Contoh:

Jika $f(x) = 2x + 3$ dan $(f o g)(x) = 2x^2 + 6x - 7$ , maka g(x) adalah

$(f)(g(x)) = 2x^2 + 6x - 7$

$2(g(x)) + 3 = 2x^2 + 6x - 7$

$g(x) = x^2 + 3x - 5$

Fungsi Invers

Jika fungsi $f:A \rightarrow B$ memiliki relasi dengan fungsi $g:B \rightarrow A$ , maka fungsi g merupakan invers dari f dan ditulis $f^{-1}$ atau $g = f^{-1}$ . Jika $f^{-1}$ dalam bentuk fungsi, maka $f^{-1}$ disebut fungsi invers.

Menentukan Invers

Menentukan invers suatu fungsi $y = f(x)$ dapat ditempuh dengan cara berikut:

Ubah persamaan $y = f(x)$ ke dalam bentuk $x = f(y)$

Gantikan x dengan $f^{-1}(y)$ sehingga $f(y) = f^{-1}(y)$

Gantikan y dengan x sehingga diperoleh invers berupa $f^{-1}$

\

Contoh:

Menentukan invers dari $=x^2 - 2x + 4$ :

$y = [x^2 - 2x + 4$

$y = (x - 1)^2 + 3$

$(x - 1)^2 = y - 3$

$x - 1 = \pm \sqrt{y - 3}$

$x = \pm \sqrt{y -3 + 3}$

Sehingga inversnya adalah

$f^{-1}(x) =\pm \sqrt{y - 3 + 1}$ dan bukan merupakan fungsi karena memiliki dua nilai.

Rumus Fungsi Invers

Rumus Fungsi Invers

JENIS FUNGSI f(x) $f^{-1}(x)$

Fungsi linier $f(x) = ax + b$ $f^{-1}(x) = \frac{x-b}{a}$

Fungsi pecahan linier $f(x) =\frac{ax+b}{cx+d}$ $f^{-1}(x) = \frac{-dx+b}{cx-a}$

Fungsi Irrasional $f(x) =\sqrt[n]{ax+b}$ $f^{-1}(x) = \frac{x^n-b }{a}$

Fungsi eksponen $f(x) = a^x$ $f^{-1}(x) = ^a\log x$

Fungsi logaritma $f(x) = ^a\log x$ $f^{-1}(x) = a^x$

Contoh

JENIS FUNGSI $f(x)$ $f^{-1}(x)$

Fungsi linier $f(x) = 2x+3$ $f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2}$

Fungsi pecahan linier $f(x) = \frac{2x+3}{4x+5}$ $f^{-1}(x) = \frac{-5x+3}{4x-2}$

Fungsi Irrasional $f(x) = \sqrt[4]{2x+3}$ $f^{-1}(x) = \frac{x^4-3}{2}$

Fungsi eksponen $f(x) = 2^x$ $f^{-1}(x) = ^2\log x$

Fungsi logaritma $f(x) = ^2\log x$ $f^{-1} = 2^x$

Invers dari Fungsi Komposisi

Berdasar gambar, jika f, g, h adalah fungsi dengan contoh $f(x) = 2x + 3$ , $g(x) = 3x - 5$ , dan $h(x) = x =1$ .

Jika $f^{-1},g^{-1},h^{-1}$ adalah invers fungsinya yaitu $f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2}$ , $g^{-1}(x) = \frac{x+3}{3}$ , dan $h^{-1}(x) = x - 1$ , maka dirumuskan beserta contohnya:

$(g \circ f)^{-1}(x) = (f^{-1} \circ g^{-1})(x)$

$(g \circ f)^{-1}(x) =f^{-1}(g^{-1}(x))$

$(g \circ f)^{-1}(x) = \frac{(g^{-1}(x))-3}{2} = \frac{\frac{x+5}{3}-3}{2} = \frac{\frac{x-4}{3}}{2} = \frac{2x-8}{3}$

$(f \circ g)^{-1}(x) = (g^{-1} \circ f^{-1})(x)$

$(f \circ g)^{-1}(x) = g^{-1}(f^{-1}(x))$

$(f \circ g)^{-1}(x) = \frac{\frac{x-3}{2}+5}{3} = \frac{\frac{x+7}{2}}{3} = \frac{3x+21}{2}$

$(h \circ g \circ f)^{-1}(x) = (f^{-1} \circ g^{-1} \circ h^{-1})(x)$

$(h \circ g \circ f)^{-1}(x) = f^{-1}(g^{-1}(h^{-1}(x)))$

$(h \circ g \circ f)^{-1}(x) = f^{-1} (\frac{(x-1)+5}{3}) = f^{-1} (\frac{x+4}{3})$

$(h \circ g \circ f)^{-1}(x) = \frac{(\frac{x+4}{3})-3}{2} = \frac{(\frac{x-5}{3})}{2} = \frac{2x-10}{3}$

$(f \circ g \circ h)^{-1}(x) = (h^{-1} \circ g^{-1} \circ f^{-1})(x)$

$(f \circ g \circ h)^{-1}(x) = h^{-1} (g^{-1}(f^{-1}(x)))$

$(f \circ g \circ h)^{-1}(x) = h^{-1}(\frac{3x+21}{2})$

$(f \circ g \circ h)^{-1}(x) = (\frac{3x+21}{2}) - 1 = \frac{3x+19}{2}$

Berdasarkan rumusan tersebut, dapat diturunkan operasi komposisi fungsi sebagai berikut:

Jika diketahui $g(x)$ dan $(f \circ g)(x)$ atau $(g \circ f)(x)$ , maka $(f \circ g \circ g^{-1})(x) = (g^{-1} \circ g \circ f)(x) = f(x)$

Jika diketahui $f(x)$ dan $(f \circ g)(x)$ atau $(g \circ f)(x)$ , maka $(f^{-1} \circ f \circ g)(x) = (g \circ f \circ f^{-1})(x) = g(x)$

Jika diketahui $f(x)$ , $g(x)$ , dan $(f \circ g \circ h)(x)$ , maka $(f \circ g)^{-1}((f \circ g \circ h)(x))$

Jika diketahui $f(x)$ , $h(x)$ , dan $(f \circ g \circ h)(x)$ , maka $f^{-1}((f \circ g \circ h)(h^{-1}(x)))$

* Contoh Soal Fungsi Komposisi Fungsi Invers dan Pembahasan

Contoh Soal Fungsi Komposisi

Jika $f(x) = \frac{x}{x-1}, x \not= 1$ dan $g(x) = f(x^2 +1)$ , tentukanlah nilai $g(f(x))$

Pembahasan

$g(x) = f(x^2+1)$

$g(x) = \frac{(x^2+1)}{(x^2+1)-1} = \frac{x^2+1}{x^2}$

$g(x) = 1+ \frac{1}{x^2}$

Maka:

$g(f(x)) = 1 + \frac{1}{(f(x))^2}$

$g(f(x)) = 1 + \frac{1}{(\frac{x}{x-1})^2} = 1 + (\frac{x-1}{x})^2 = 1 + \frac{x^2-2x+1}{x^2}$

$g(f(x)) = 2 - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}$

Contoh Soal Fungsi Invers

Diketahui $f^{-1}(x) = \frac{1}{2}(x - 3)$ , tentukan $f(x)$ .

Pembahasan

$f^{-1}(x) = \frac{1}{2}(x -3)$

$f^{-1}(y) = \frac{1}{2}(y -3)$

$x = \frac{1}{2}(y - 3)$

$2x = (y - 3)$

$y = 2x + 3$

Maka,

$f(x) = 2x + 3$

Contoh Soal Fungsi Komposisi Fungsi Invers

Misalkan $f(x) = x + 2$ untuk $x > 0$ dan $g(x) = \frac{15}{x}$ untuk $x > 0$ . Jika $(f^{-1} \circ g^{-1})(x) = 1$ , tentukan nilai (x) $(x)$ .

Pembahasan

$f(x) = x + 2 \rightarrow f^{-1}(x) = x - 2$

$g(x) = \frac{15}{x} \rightarrow g^{-1}(x) = \frac{15}{x}$

Maka,

$(f^{-1} \circ g^{-1})(x) = 1$

$f^{-1}(g^{-1}(x)) = 1$

$f^{-1}(\frac{15}{x}) = 1$

$(\frac{15}{x}) - 2 = 1$

$x = 5$

Anything

Anything

Rabu, 18 September 2019

Relasi dan Fungsi